Dynamique des structures 3e édition
CollectionCursus
ISBN9782553017179
EditeurPresses internationales Polytechnique
pages988
Parution2018-09-04
AuteurPatrick Paultre
Quatrième de couverture
Les nouvelles normes de calcul des bâtiments favorisent l'utilisation du calcul dynamique pour la détermination de la distribution des forces sismiques qui servent au dimensionnement des bâtiments, en particulier ceux de grande taille ou de forme irrégulière. Cet ouvrage répond à cette exigence. Il se caractérise par son approche théorique et algorithmique, combinée à de nombreux exemples d'application. Il s'intéresse, dans sa première partie, aux systèmes à un degré de liberté comprenant aussi les systèmes complexes pouvant se ramener à des systèmes à un seul degré de liberté. Il traite, dans sa seconde partie, des systèmes à plusieurs degrés de liberté, pour lesquels la résolution des problèmes fait appel à la méthode des éléments finis. La résolution des problèmes se fait dans les domaines du temps et des fréquences dans les espaces géométrique et modal. Les charges sismiques font l'objet d'un traitement particulier et deux chapitres y sont consacrés.
Argumentaire
Ce texte sert à l'enseignement de la dynamique des structures aux cycles supérieurs de l'Université de Sherbrooke et de Polytechnique Montréal. Il a servi pendant plusieurs années, à l'enseignement de cette matière aux étudiants du DEA-MAISE du Laboratoire de mécanique et technologie de l'École normale supérieure de Cachan, aux étudiants de la maîtrise en génie civil et infrastructure de l'IUP de Grenoble et à ceux de l'école doctorale de l'Université Joseph Fourier à Grenoble. Quelques chapitres du livre ont été présentés en anglais aux étudiants du doctorat lors des rencontres ALERT à Aussois, en France, et dans le cours de génie parasismique de l'Université McGill à Montréal. Enfin, la version anglaise du livre a été utilisée à la Rose School à Pavia, en Italie, où l'auteur a été professeur invité de dynamique des structures.
PUBLIC CIBLE
Les premiers utilisateurs de ce manuel sont les étudiants des cycles supérieurs en dynamique des structures de l'Université de Sherbrooke et de Polytechnique Montréal, mais l'ouvrage peut aussi s'avérer utile dans de nombreuses autres écoles d'ingénieurs où cette matière est enseignée. Les ingénieurs de la pratique qui font face à des problèmes de vibration des structures et doivent effectuer des calculs parasismiques y trouveront également de précieux renseignements.
Patrick Paultre est professeur au Département de génie civil de l'Université de Sherbrooke et a été titulaire de la Chaire de recherche du Canada en génie parasismique pendant quatorze ans. Il est aussi directeur et fondateur du Centre de recherche en génie parasismique et en dynamique des structures de cette même université et du Centre d'études interuniversitaire des structures sous charges extrêmes. M. Paultre est membre de plusieurs comités internationaux en génie parasismique et ses publications scientifiques lui ont mérité de nombreux prix internationaux. À l'échelle nationale, il a notamment reçu le prix Acfas Adrien-Pouliot soulignant sa collaboration avec des chercheurs français au regard du comportement dynamique des structures en béton à haute performance; le prix Armand-Frappier en 2015, la plus haute récompense du gouvernement du Québec attribuée à des scientifiques; et le prix A. B. Sanderson de la Société canadienne de génie civil pour son apport à l'ingénierie des structures au Canada. En 2018, il a été nommé Chevalier de l'Ordre national du Québec.
AVANT-PROPOS
CHAPITRE 1 INTRODUCTION
1.1 Réponse dynamique
1.2 Charges dynamiques
1.2.1 Charges périodiques
1.2.2 Charges apériodiques
1.3 Considérations additionnelles
1.4 Coordonnées généralisées
1.5 Types de contraintes
1.6 Formulation des équations du mouvement
1.6.1 Deuxième loi du mouvement de Newton
1.6.2 Principe de D'Alembert
1.6.3 Principe des travaux virtuels
1.6.4 Principe de Hamilton
1.7 Degré de liberté dynamique
1.8 Modélisation d'un problème dynamique
1.8.1 Concentration de la masse
1.8.2 Méthode de Rayleigh-Ritz
1.8.3 Méthode des éléments finis
1.9 Analyse dynamique des structures
1.10 Essais dynamiques
1.11 Mesure de l'intensité des vibrations
1.12 Lectures suggérées
Partie I Systèmes à un degré de liberté
CHAPITRE 2 ÉQUATION DU MOUVEMENT
2.1 Paramètres de réponse
2.2 Composantes physiques
2.2.1 Ressorts en parallèle
2.3 Structure sur base immobile
2.4 Effets des forces de gravité
2.5 Mouvement de la base
CHAPITRE 3 RÉGIME LIBRE DE L'OSCILLATEUR ÉLÉMENTAIRE
3.1 Équation caractéristique
3.2 Régime libre conservatif
3.3 Représentation par un vecteur tournant
3.4 Représentation par des variables complexes
3.5 Conservation de l'énergie
3.6 Régime libre dissipatif
3.6.1 Amortissement sous-critique
3.6.2 Amortissement critique
3.6.3 Amortissement surcritique
3.7 Lieu des racines
3.8 Dissipation d'énergie dans un système sous-amorti
3.9 Amortissement de Coulomb
3.10 Décrément logarithmique
CHAPITRE 4 RÉPONSE À UNE CHARGE HARMONIQUE
4.1 Régime forcé conservatif
4.1.1 Réponse forcée à une force en cosinus
4.2 Phénomène de battement
4.3 Régime forcé dissipatif
4.4 Régime permanent dû à une force en cosinus
4.5 Résonance
4.6 Facteurs d'amplification dynamique
4.7 Pulsations de résonance
4.8 Puissance absorbée en régime permanent
4.9 Réponse complexe en fréquence
4.10 Diagrammes de Nyquist
4.11 Appareils de mesure des vibrations
4.11.1 Capteur de déplacement ou sismographe
4.11.2 Capteur de vitesse ou vélocimètre
4.11.3 Capteur d'accélération ou accéléromètre
4.12 Isolation des vibrations
4.12.1 Force verticale oscillatoire
4.12.2 Mouvement harmonique de la base
4.13 Excentricité de la masse
CHAPITRE 5 MESURE DE L'AMORTISSEMENT
5.1 Méthode d'affaiblissement
5.2 Méthode d'amplification
5.3 Méthode de l'acuité de résonance
5.4 Diagrammes de Nyquist
5.5 Énergie dissipée par amortissement
5.5.1 Énergie dissipée par amortissement visqueux
5.5.2 Amortissement interne dans les matériaux
CHAPITRE 6 RÉPONSE À UNE CHARGE PÉRIODIQUE
6.1 Fonction périodique représentée en série de Fourier
6.1.1 Série de Fourier sous forme trigonométrique
6.1.2 Série de Fourier sous forme complexe ou exponentielle
6.2 Spectre de Fourier
6.3 Réponse à une charge périodique
6.3.1 Charge décomposée en série de Fourier trigonométrique
6.3.2 Charge décomposée en série de Fourier exponentielle
CHAPITRE 7 RÉPONSE DANS LE DOMAINE DU TEMPS
7.1 Réponse à une impulsion
7.2 Impulsion de Dirac ou fonction delta
7.3 Réponse à une impulsion de Dirac
7.4 Intégrale de Duhamel
7.5 Intégrale de convolution
7.6 Évaluation numérique de l'intégrale de Duhamel
7.6.1 Système conservatif
7.6.2 Système dissipatif
7.7 Réponse à une charge échelon
7.8 Réponse à une force augmentant linéairement
7.9 Réponse à une force constante appliquée lentement
7.10 Réponse à un choc
7.10.1 Impulsion sinusoïdale
7.10.2 Impulsion rectangulaire
7.10.3 Impulsion triangulaire
7.10.4 Impulsion triangulaire symétrique
7.11 Spectre de réponse aux chocs
CHAPITRE 8 RÉPONSE DANS LES DOMAINES DE FOURIER ET DE LAPLACE
8.1 Transformation dans le domaine de Fourier
8.1.1 Transformation de Fourier
8.1.2 Fonctions de réponse en fréquence et impulsionnelle
8.1.3 Transformée de Fourier discrète
8.1.4 Transformée de Fourier rapide
8.1.5 Calcul de la transformée de Fourier rapide inverse
8.1.6 Décompte des opérations
8.1.7 Formulation matricielle
8.2 Transformation dans le domaine de Laplace
8.2.1 Transformée de Laplace
8.2.2 Solution des équations du mouvement
8.2.3 Fractions partielles
8.2.4 Réponses indicielle et impulsionnelle
8.2.5 Fonction de réponse en fréquence et fonction de transfert
8.2.6 Transformée en Z
CHAPITRE 9 INTÉGRATION TEMPORELLE DES SYSTÈMES LINÉAIRES
9.1 Généralités
9.2 Fonctions de chargement linéaires par morceau
9.3 Méthodes des différences finies
9.3.1 Méthode des différences centrées
9.3.2 Schémas d'intégration de Newmark
CHAPITRE 10 INTÉGRATION TEMPORELLE DES SYSTÈMES NON LINÉAIRES
10.1 Équation d'équilibre dynamique incrémentale
10.2 Méthode de Newmark
10.3 Réduction de l'erreur par la méthode de Newton
CHAPITRE 11 SYSTÈMES ÉLÉMENTAIRES GÉNÉRALISÉS
11.1 Assemblage de corps rigides
11.2 Système flexible
11.3 Système élémentaire généralisé
11.4 Méthode de Rayleigh
11.4.1 Système élémentaire
11.4.2 Système continu
11.4.3 Choix d'une fonction de déplacement
11.4.4 Méthode de Rayleigh améliorée
11.4.5 Système discret
CHAPITRE 12 RÉPONSE À UN SÉISME
12.1 réponse dans le temps
12.2 spectre de réponse
12.3 spectre de dimensionnement
12.4 utilisation des spectres de dimensionnement
12.5 Spectre de dimensionnement simplifié
12.6 Spectre d'aléa sismique uniformisé
12.7 Mesure de l'intensité d'un séisme
12.8 Spectre de Fourier, spectre de vitesse relative et énergie
12.9 Réponse d'un système élémentaire généralisé
12.10 Réponse non linéaire
12.11 Spectre de réponse inélastique
12.12 Spectre de dimensionnement non linéaire simplifié
PARTIE II Systèmes à plusieurs degrés de liberté
CHAPITRE 13 ÉQUATION DU MOUVEMENT
13.1 Modèle simplifié d'un bâtiment
13.2 Équation d'équilibre dynamique
13.3 Coefficients d'influence de rigidité
13.4 Condensation statique
13.5 Mouvement d'ensemble de la base d'un système plan
13.6 Structure avec mouvement différentiel des supports
13.6.1 Méthode des masses additionnelles
CHAPITRE 14 MÉTHODE DES ÉLÉMENTS FINIS
14.1 Aperçu de la méthode
14.2 Formulation globale par le principe des travaux virtuels
14.3 Formulation locale par le principe des travaux virtuels
14.4 Transformation de coordonnées
14.5 Déplacements, déformations et contraintes généralisés
14.6 Élément fini barre à deux n?uds
14.7 Élément fini poutre
14.8 Élément poutre-colonne plan
14.9 Effet d'une force axiale : matrice de rigidité géométrique
14.9.1 Élément fini barre à deux n?uds
14.9.2 Élément fini poutre-colonne à deux n?uds
14.10 Règles d'assemblage des matrices élémentaires
14.11 Propriétés de la matrice de rigidité
14.12 Résolution
14.13 Post-traitement
14.14 Convergence et compatibilité
14.15 Éléments isoparamétriques
CHAPITRE 15 ÉQUATIONS DU MOUVEMENT DE LAGRANGE
15.1 Introduction au calcul des variations
15.2 Notation du calcul des variations
15.3 Principe de Hamilton
15.4 Équations de Lagrange
15.4.1 Coordonnées généralisées indépendantes
15.4.2 Coordonnées généralisées liées par des contraintes
15.4.3 Équations de Lagrange pour les systèmes discrets
CHAPITRE 16 RÉGIME LIBRE DU SYSTÈME DISCRET CONSERVATIF
16.1 Signification physique des fréquences et modes propres
16.2 Fréquences propres de vibration
16.3 Modes propres de vibration
16.4 Formulation en fonction de la matrice de flexibilité
16.5 Charge de flambage
16.6 Orthogonalité des modes propres de vibration
16.6.1 Normalisation des vecteurs propres
16.7 Coordonnées normales
16.8 Équations découplées
16.9 Solution du régime libre conservatif
16.10 Signe des valeurs propres
16.11 Comparaison des propriétés dynamiques prédites et mesurées
16.12 Influence de la matrice de masse
CHAPITRE 17 RÉGIME LIBRE DU SYSTÈME DISCRET DISSIPATIF
17.1 Conditions pour l'obtention de modes propres classiques
17.2 Matrice d'amortissement classique
17.3 Superposition des matrices d'amortissement modal
17.4 Mesure de l'amortissement par excitation harmonique
17.5 Systèmes discrets dissipatifs avec modes réels
17.5.1 Solution du régime libre dissipatif
17.6 Systèmes discrets dissipatifs avec modes complexes
17.7 Solution par transformation dans l'espace d'état
17.8 Source de la complexité des modes
17.9 Mesure de la complexité des modes
17.10 Construction des matrices d'amortissement non proportionnelles
CHAPITRE 18 RÉPONSE À UNE CHARGE ARBITRAIRE PAR SUPERPOSITION MODALE
18.1 Équations découplées du mouvement
18.2 Méthode de superposition modale
18.2.1 Intégration numérique directe
18.2.2 Calcul de l'intégrale de Duhamel
18.2.3 Transformation de Fourier
18.2.4 Conditions initiales
18.2.5 Réponse totale
18.2.6 Calcul des forces élastiques
18.3 Erreur due à l'utilisation d'une base vectorielle propre tronquée
18.4 Amplification harmonique
18.5 Correction statique
18.6 Méthode des accélérations modales
18.7 Réponses des systèmes discrets avec modes propres complexes
18.8 Résumé de la méthode de superposition modale
CHAPITRE 19 RÉPONSE À UN TREMBLEMENT DE TERRE PAR SUPERPOSITION MODALE
19.1 Superposition modale
19.2 Masses modales effectives
19.3 Erreur due à l'utilisation d'une base vectorielle tronquée
19.4 Superposition des réponses spectrales
19.5 Réponse des systèmes avec supports multiples
CHAPITRE 20 PROPRIÉTÉS DES VALEURS ET DES VECTEURS PROPRES
20.1 Problème aux valeurs propres standard
20.2 Transformations par similitude
20.3 Quelques propriétés du problème aux valeurs propres symétrique
20.4 Problème aux valeurs propres généralisé symétrique
20.4.1 Propriétés fondamentales
20.4.2 Multiplicité des valeurs propres
20.5 Problème aux valeurs propres standard non symétrique
20.6 Décalage spectral
20.7 Masses nulles
20.8 Transformation du problème généralisé à la forme standard
20.9 Quotient de Rayleigh
20.9.1 Propriété d'homogénéité
20.9.2 Propriété de stationnarité
20.9.3 Propriété d'encadrement
20.10 Caractérisation maxmin et minmax des valeurs propres
20.11 Théorème d'entrelacement de Cauchy
20.12 Propriétés des polynômes caractéristiques
20.13 Théorème d'inertie de Sylvester
CHAPITRE 21 RÉDUCTION DE COORDONNÉES
21.1 Contraintes cinématiques
21.2 Condensation statique
21.3 Analyse de Rayleigh
21.4 Analyse de Rayleigh-Ritz
21.5 Vecteurs de Ritz dépendants du chargement
21.6 Méthode de réduction de Guyan-Irons
CHAPITRE 22 MÉTHODES NUMÉRIQUES D'EXTRACTION MODALE
22.1 Méthodes itératives
22.1.1 Itération inverse
22.1.2 Itération directe
22.1.3 Itération inverse avec décalage spectral
22.1.4 Itération inverse avec déflation orthogonale
22.2 Rotation et réflexion
22.3 Méthodes de transformation
22.3.1 Méthode de Jacobi
22.3.2 Méthode de Jacobi généralisée
22.3.3 Algorithme d'itération QR
22.3.4 Algorithme d'itération HQRI
22.4 Itération de sous-espaces
22.4.1 Algorithme
22.4.2 Choix des vecteurs d'itération de départ
CHAPITRE 23 INTÉGRATION TEMPORELLE DES SYSTÈMES LINÉAIRES
23.1 Méthodes à pas multiples
23.1.1 Équations du premier ordre
23.1.2 Équations du deuxième ordre
23.2 Méthode des différences centrées
23.3 Méthode de Houbolt
23.4 Méthodes de Newmark
23.5 Méthode Wilson-?
23.6 Méthodes de collocation
23.7 Méthode HHT-?
23.8 Estimation de la plus grande valeur propre
23.9 Stabilité d'un schéma d'intégration
23.9.1 Solutions exactes
23.9.2 Approximation discrète
23.9.3 Méthode des différences centrées
23.9.4 Méthode de Houbolt
23.9.5 Méthode de Newmark
23.9.6 Méthode Wilson-?
23.9.7 Méthode HHT-?
23.10 Conditions de stabilité d'un schéma d'intégration
23.10.1 Différences centrées
23.10.2 Méthodes de Newmark
23.10.3 Méthode Wilson-?
23.10.4 Méthode HHT-?
23.10.5 Comparaison des différentes méthodes
23.11 Consistance d'un schéma aux différences finies
23.12 Analyse de la précision
23.12.1 Précision de la méthode de Newmark
23.12.2 Mesure de la précision des schémas d'intégration
23.13 Filtrage des modes parasites et surestimation de la réponse
23.14 Choix d'une méthode d'intégration numérique directe
CHAPITRE 24 INTÉGRATION TEMPORELLE DES SYSTÈMES NON LINÉAIRES
24.1 Équation du mouvement incrémentale
24.2 Méthode explicite des différences centrées
24.3 Méthodes implicites de Newmark
24.4 Réduction de l'erreur par la méthode de Newton
24.5 Analyse non linéaire des bâtiments
24.5.1 Approche locale
24.5.2 Approche globale
24.5.3 Approche semi-globale
24.6 Exemple d'application
24.7 Utilisation des analyses non linéaires
ANNEXE A NOMBRES COMPLEXES
A.1 Définition
A.2 Représentation géométrique
A.3 Forme trigonométrique
A.4 Opérations
A.5 Racines n-ièmes
A.6 Théorème fondamental de l'algèbre
A.7 Théorème des racines complexes conjuguées
ANNEXE B NORMES VECTORIELLES ET MATRICIELLES
B.1 Normes vectorielles
B.2 Normes matricielles
ANNEXE C SOLUTION DES SYSTÈMES D'ÉQUATIONS LINÉAIRES
C.1 Élimination de Gauss
C.2 Décomposition LU
C.3 Décomposition de Cholesky LcLcT
C.4 Décomposition LDLT
ANNEXE D VIBRATION TRANSVERSALE DES POUTRES ÉLANCÉES PRISMATIQUES
ANNEXE E LIGNES ÉLASTIQUES IMPORTANTES
ANNEXE F SOLUTIONS D'EXERCICES SÉLECTIONNÉS
BIBLIOGRAPHIE
INDEX
CHAPITRE 1 INTRODUCTION
1.1 Réponse dynamique
1.2 Charges dynamiques
1.2.1 Charges périodiques
1.2.2 Charges apériodiques
1.3 Considérations additionnelles
1.4 Coordonnées généralisées
1.5 Types de contraintes
1.6 Formulation des équations du mouvement
1.6.1 Deuxième loi du mouvement de Newton
1.6.2 Principe de D'Alembert
1.6.3 Principe des travaux virtuels
1.6.4 Principe de Hamilton
1.7 Degré de liberté dynamique
1.8 Modélisation d'un problème dynamique
1.8.1 Concentration de la masse
1.8.2 Méthode de Rayleigh-Ritz
1.8.3 Méthode des éléments finis
1.9 Analyse dynamique des structures
1.10 Essais dynamiques
1.11 Mesure de l'intensité des vibrations
1.12 Lectures suggérées
Partie I Systèmes à un degré de liberté
CHAPITRE 2 ÉQUATION DU MOUVEMENT
2.1 Paramètres de réponse
2.2 Composantes physiques
2.2.1 Ressorts en parallèle
2.3 Structure sur base immobile
2.4 Effets des forces de gravité
2.5 Mouvement de la base
CHAPITRE 3 RÉGIME LIBRE DE L'OSCILLATEUR ÉLÉMENTAIRE
3.1 Équation caractéristique
3.2 Régime libre conservatif
3.3 Représentation par un vecteur tournant
3.4 Représentation par des variables complexes
3.5 Conservation de l'énergie
3.6 Régime libre dissipatif
3.6.1 Amortissement sous-critique
3.6.2 Amortissement critique
3.6.3 Amortissement surcritique
3.7 Lieu des racines
3.8 Dissipation d'énergie dans un système sous-amorti
3.9 Amortissement de Coulomb
3.10 Décrément logarithmique
CHAPITRE 4 RÉPONSE À UNE CHARGE HARMONIQUE
4.1 Régime forcé conservatif
4.1.1 Réponse forcée à une force en cosinus
4.2 Phénomène de battement
4.3 Régime forcé dissipatif
4.4 Régime permanent dû à une force en cosinus
4.5 Résonance
4.6 Facteurs d'amplification dynamique
4.7 Pulsations de résonance
4.8 Puissance absorbée en régime permanent
4.9 Réponse complexe en fréquence
4.10 Diagrammes de Nyquist
4.11 Appareils de mesure des vibrations
4.11.1 Capteur de déplacement ou sismographe
4.11.2 Capteur de vitesse ou vélocimètre
4.11.3 Capteur d'accélération ou accéléromètre
4.12 Isolation des vibrations
4.12.1 Force verticale oscillatoire
4.12.2 Mouvement harmonique de la base
4.13 Excentricité de la masse
CHAPITRE 5 MESURE DE L'AMORTISSEMENT
5.1 Méthode d'affaiblissement
5.2 Méthode d'amplification
5.3 Méthode de l'acuité de résonance
5.4 Diagrammes de Nyquist
5.5 Énergie dissipée par amortissement
5.5.1 Énergie dissipée par amortissement visqueux
5.5.2 Amortissement interne dans les matériaux
CHAPITRE 6 RÉPONSE À UNE CHARGE PÉRIODIQUE
6.1 Fonction périodique représentée en série de Fourier
6.1.1 Série de Fourier sous forme trigonométrique
6.1.2 Série de Fourier sous forme complexe ou exponentielle
6.2 Spectre de Fourier
6.3 Réponse à une charge périodique
6.3.1 Charge décomposée en série de Fourier trigonométrique
6.3.2 Charge décomposée en série de Fourier exponentielle
CHAPITRE 7 RÉPONSE DANS LE DOMAINE DU TEMPS
7.1 Réponse à une impulsion
7.2 Impulsion de Dirac ou fonction delta
7.3 Réponse à une impulsion de Dirac
7.4 Intégrale de Duhamel
7.5 Intégrale de convolution
7.6 Évaluation numérique de l'intégrale de Duhamel
7.6.1 Système conservatif
7.6.2 Système dissipatif
7.7 Réponse à une charge échelon
7.8 Réponse à une force augmentant linéairement
7.9 Réponse à une force constante appliquée lentement
7.10 Réponse à un choc
7.10.1 Impulsion sinusoïdale
7.10.2 Impulsion rectangulaire
7.10.3 Impulsion triangulaire
7.10.4 Impulsion triangulaire symétrique
7.11 Spectre de réponse aux chocs
CHAPITRE 8 RÉPONSE DANS LES DOMAINES DE FOURIER ET DE LAPLACE
8.1 Transformation dans le domaine de Fourier
8.1.1 Transformation de Fourier
8.1.2 Fonctions de réponse en fréquence et impulsionnelle
8.1.3 Transformée de Fourier discrète
8.1.4 Transformée de Fourier rapide
8.1.5 Calcul de la transformée de Fourier rapide inverse
8.1.6 Décompte des opérations
8.1.7 Formulation matricielle
8.2 Transformation dans le domaine de Laplace
8.2.1 Transformée de Laplace
8.2.2 Solution des équations du mouvement
8.2.3 Fractions partielles
8.2.4 Réponses indicielle et impulsionnelle
8.2.5 Fonction de réponse en fréquence et fonction de transfert
8.2.6 Transformée en Z
CHAPITRE 9 INTÉGRATION TEMPORELLE DES SYSTÈMES LINÉAIRES
9.1 Généralités
9.2 Fonctions de chargement linéaires par morceau
9.3 Méthodes des différences finies
9.3.1 Méthode des différences centrées
9.3.2 Schémas d'intégration de Newmark
CHAPITRE 10 INTÉGRATION TEMPORELLE DES SYSTÈMES NON LINÉAIRES
10.1 Équation d'équilibre dynamique incrémentale
10.2 Méthode de Newmark
10.3 Réduction de l'erreur par la méthode de Newton
CHAPITRE 11 SYSTÈMES ÉLÉMENTAIRES GÉNÉRALISÉS
11.1 Assemblage de corps rigides
11.2 Système flexible
11.3 Système élémentaire généralisé
11.4 Méthode de Rayleigh
11.4.1 Système élémentaire
11.4.2 Système continu
11.4.3 Choix d'une fonction de déplacement
11.4.4 Méthode de Rayleigh améliorée
11.4.5 Système discret
CHAPITRE 12 RÉPONSE À UN SÉISME
12.1 réponse dans le temps
12.2 spectre de réponse
12.3 spectre de dimensionnement
12.4 utilisation des spectres de dimensionnement
12.5 Spectre de dimensionnement simplifié
12.6 Spectre d'aléa sismique uniformisé
12.7 Mesure de l'intensité d'un séisme
12.8 Spectre de Fourier, spectre de vitesse relative et énergie
12.9 Réponse d'un système élémentaire généralisé
12.10 Réponse non linéaire
12.11 Spectre de réponse inélastique
12.12 Spectre de dimensionnement non linéaire simplifié
PARTIE II Systèmes à plusieurs degrés de liberté
CHAPITRE 13 ÉQUATION DU MOUVEMENT
13.1 Modèle simplifié d'un bâtiment
13.2 Équation d'équilibre dynamique
13.3 Coefficients d'influence de rigidité
13.4 Condensation statique
13.5 Mouvement d'ensemble de la base d'un système plan
13.6 Structure avec mouvement différentiel des supports
13.6.1 Méthode des masses additionnelles
CHAPITRE 14 MÉTHODE DES ÉLÉMENTS FINIS
14.1 Aperçu de la méthode
14.2 Formulation globale par le principe des travaux virtuels
14.3 Formulation locale par le principe des travaux virtuels
14.4 Transformation de coordonnées
14.5 Déplacements, déformations et contraintes généralisés
14.6 Élément fini barre à deux n?uds
14.7 Élément fini poutre
14.8 Élément poutre-colonne plan
14.9 Effet d'une force axiale : matrice de rigidité géométrique
14.9.1 Élément fini barre à deux n?uds
14.9.2 Élément fini poutre-colonne à deux n?uds
14.10 Règles d'assemblage des matrices élémentaires
14.11 Propriétés de la matrice de rigidité
14.12 Résolution
14.13 Post-traitement
14.14 Convergence et compatibilité
14.15 Éléments isoparamétriques
CHAPITRE 15 ÉQUATIONS DU MOUVEMENT DE LAGRANGE
15.1 Introduction au calcul des variations
15.2 Notation du calcul des variations
15.3 Principe de Hamilton
15.4 Équations de Lagrange
15.4.1 Coordonnées généralisées indépendantes
15.4.2 Coordonnées généralisées liées par des contraintes
15.4.3 Équations de Lagrange pour les systèmes discrets
CHAPITRE 16 RÉGIME LIBRE DU SYSTÈME DISCRET CONSERVATIF
16.1 Signification physique des fréquences et modes propres
16.2 Fréquences propres de vibration
16.3 Modes propres de vibration
16.4 Formulation en fonction de la matrice de flexibilité
16.5 Charge de flambage
16.6 Orthogonalité des modes propres de vibration
16.6.1 Normalisation des vecteurs propres
16.7 Coordonnées normales
16.8 Équations découplées
16.9 Solution du régime libre conservatif
16.10 Signe des valeurs propres
16.11 Comparaison des propriétés dynamiques prédites et mesurées
16.12 Influence de la matrice de masse
CHAPITRE 17 RÉGIME LIBRE DU SYSTÈME DISCRET DISSIPATIF
17.1 Conditions pour l'obtention de modes propres classiques
17.2 Matrice d'amortissement classique
17.3 Superposition des matrices d'amortissement modal
17.4 Mesure de l'amortissement par excitation harmonique
17.5 Systèmes discrets dissipatifs avec modes réels
17.5.1 Solution du régime libre dissipatif
17.6 Systèmes discrets dissipatifs avec modes complexes
17.7 Solution par transformation dans l'espace d'état
17.8 Source de la complexité des modes
17.9 Mesure de la complexité des modes
17.10 Construction des matrices d'amortissement non proportionnelles
CHAPITRE 18 RÉPONSE À UNE CHARGE ARBITRAIRE PAR SUPERPOSITION MODALE
18.1 Équations découplées du mouvement
18.2 Méthode de superposition modale
18.2.1 Intégration numérique directe
18.2.2 Calcul de l'intégrale de Duhamel
18.2.3 Transformation de Fourier
18.2.4 Conditions initiales
18.2.5 Réponse totale
18.2.6 Calcul des forces élastiques
18.3 Erreur due à l'utilisation d'une base vectorielle propre tronquée
18.4 Amplification harmonique
18.5 Correction statique
18.6 Méthode des accélérations modales
18.7 Réponses des systèmes discrets avec modes propres complexes
18.8 Résumé de la méthode de superposition modale
CHAPITRE 19 RÉPONSE À UN TREMBLEMENT DE TERRE PAR SUPERPOSITION MODALE
19.1 Superposition modale
19.2 Masses modales effectives
19.3 Erreur due à l'utilisation d'une base vectorielle tronquée
19.4 Superposition des réponses spectrales
19.5 Réponse des systèmes avec supports multiples
CHAPITRE 20 PROPRIÉTÉS DES VALEURS ET DES VECTEURS PROPRES
20.1 Problème aux valeurs propres standard
20.2 Transformations par similitude
20.3 Quelques propriétés du problème aux valeurs propres symétrique
20.4 Problème aux valeurs propres généralisé symétrique
20.4.1 Propriétés fondamentales
20.4.2 Multiplicité des valeurs propres
20.5 Problème aux valeurs propres standard non symétrique
20.6 Décalage spectral
20.7 Masses nulles
20.8 Transformation du problème généralisé à la forme standard
20.9 Quotient de Rayleigh
20.9.1 Propriété d'homogénéité
20.9.2 Propriété de stationnarité
20.9.3 Propriété d'encadrement
20.10 Caractérisation maxmin et minmax des valeurs propres
20.11 Théorème d'entrelacement de Cauchy
20.12 Propriétés des polynômes caractéristiques
20.13 Théorème d'inertie de Sylvester
CHAPITRE 21 RÉDUCTION DE COORDONNÉES
21.1 Contraintes cinématiques
21.2 Condensation statique
21.3 Analyse de Rayleigh
21.4 Analyse de Rayleigh-Ritz
21.5 Vecteurs de Ritz dépendants du chargement
21.6 Méthode de réduction de Guyan-Irons
CHAPITRE 22 MÉTHODES NUMÉRIQUES D'EXTRACTION MODALE
22.1 Méthodes itératives
22.1.1 Itération inverse
22.1.2 Itération directe
22.1.3 Itération inverse avec décalage spectral
22.1.4 Itération inverse avec déflation orthogonale
22.2 Rotation et réflexion
22.3 Méthodes de transformation
22.3.1 Méthode de Jacobi
22.3.2 Méthode de Jacobi généralisée
22.3.3 Algorithme d'itération QR
22.3.4 Algorithme d'itération HQRI
22.4 Itération de sous-espaces
22.4.1 Algorithme
22.4.2 Choix des vecteurs d'itération de départ
CHAPITRE 23 INTÉGRATION TEMPORELLE DES SYSTÈMES LINÉAIRES
23.1 Méthodes à pas multiples
23.1.1 Équations du premier ordre
23.1.2 Équations du deuxième ordre
23.2 Méthode des différences centrées
23.3 Méthode de Houbolt
23.4 Méthodes de Newmark
23.5 Méthode Wilson-?
23.6 Méthodes de collocation
23.7 Méthode HHT-?
23.8 Estimation de la plus grande valeur propre
23.9 Stabilité d'un schéma d'intégration
23.9.1 Solutions exactes
23.9.2 Approximation discrète
23.9.3 Méthode des différences centrées
23.9.4 Méthode de Houbolt
23.9.5 Méthode de Newmark
23.9.6 Méthode Wilson-?
23.9.7 Méthode HHT-?
23.10 Conditions de stabilité d'un schéma d'intégration
23.10.1 Différences centrées
23.10.2 Méthodes de Newmark
23.10.3 Méthode Wilson-?
23.10.4 Méthode HHT-?
23.10.5 Comparaison des différentes méthodes
23.11 Consistance d'un schéma aux différences finies
23.12 Analyse de la précision
23.12.1 Précision de la méthode de Newmark
23.12.2 Mesure de la précision des schémas d'intégration
23.13 Filtrage des modes parasites et surestimation de la réponse
23.14 Choix d'une méthode d'intégration numérique directe
CHAPITRE 24 INTÉGRATION TEMPORELLE DES SYSTÈMES NON LINÉAIRES
24.1 Équation du mouvement incrémentale
24.2 Méthode explicite des différences centrées
24.3 Méthodes implicites de Newmark
24.4 Réduction de l'erreur par la méthode de Newton
24.5 Analyse non linéaire des bâtiments
24.5.1 Approche locale
24.5.2 Approche globale
24.5.3 Approche semi-globale
24.6 Exemple d'application
24.7 Utilisation des analyses non linéaires
ANNEXE A NOMBRES COMPLEXES
A.1 Définition
A.2 Représentation géométrique
A.3 Forme trigonométrique
A.4 Opérations
A.5 Racines n-ièmes
A.6 Théorème fondamental de l'algèbre
A.7 Théorème des racines complexes conjuguées
ANNEXE B NORMES VECTORIELLES ET MATRICIELLES
B.1 Normes vectorielles
B.2 Normes matricielles
ANNEXE C SOLUTION DES SYSTÈMES D'ÉQUATIONS LINÉAIRES
C.1 Élimination de Gauss
C.2 Décomposition LU
C.3 Décomposition de Cholesky LcLcT
C.4 Décomposition LDLT
ANNEXE D VIBRATION TRANSVERSALE DES POUTRES ÉLANCÉES PRISMATIQUES
ANNEXE E LIGNES ÉLASTIQUES IMPORTANTES
ANNEXE F SOLUTIONS D'EXERCICES SÉLECTIONNÉS
BIBLIOGRAPHIE
INDEX
