Cours d'algèbre

ISBN9782553014192 EditeurPresses internationales Polytechnique pages716 Parution2009-02-04
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Quatrième de couverture

Cours d'algèbre - Groupes, anneaux, modules et corps
L'algèbre est une des principales assises sur lesquelles se sont bâties les mathématiques. Tout mathématicien doit disposer d'une solide formation et de vastes connaissances en algèbre; à l'issuede sa formation, il doit être en mesure de jongler avec des concepts abstraits et de manipuler avec aisance les expressions algébriques, ce qui requiert de lui une pratique soutenue de l'algèbre tout au long de ses études universitaires. Au-delà de la rigueur mathématique, il doit développer une bonne « intuition algébrique ». C'est dans cette optique qu'a été écrit le manuel Cours d'algèbre - Groupes, anneaux, modules et corps.

L'ouvrage couvre la totalité de la matière ordinairement enseignée dans les cours d'algèbre de premier cycle universitaire, sauf pour l'algèbre linéaire élémentaire. N'exigeant du lecteur que peu de connaissances préalables, il présente une matière vivante et organisée pour que celui-ci, qu'il soit étudiant ou autodidacte, acquière des compétences solides en algèbre et ce, de manière agréable et efficace. Les sujets choisis - groupes, anneaux, modules et corps - permettent d'atteindre les objectifs visés tout en mettant en valeur la beauté intrinsèque de l'algèbre. La théorie est enrichie de nombreux exemples et de plus de 1300 exercices de tous niveaux de difficulté. S'y ajoutent des vignettes historiques présentant plusieurs des personnalités marquantes de l'algèbre.

Argumentaire

CLIENTÈLE CIBLE
La maîtrise de l'algèbre est une nécessité pour tout mathématicien. Pour développer les habiletés requises à sa profession, l'étudiant en mathématiques doit donc pratiquer cette discipline de manière soutenue tout au long de ses études universitaires. C'est pour accompagner l'étudiant dans cette démarche que Cours d'algèbre - Groupes, anneaux, modules et corps a été rédigé. L'ouvrage, qui suppose très peu de connaissances préalables, offre à la fois un tour d'horizon de l'algèbre moderne et un exposé complet de la matière; il englobe la totalité des cours d'algèbre ordinairement enseignés au premier cycle universitaire, sauf celui d'algèbre linéaire élémentaire.

Bien sûr, il existe déjà des manuels d'algèbre français, et d'autres, américains, généralement non traduits, mais l'expérience montre qu'ils sont mal adaptés à la préparation des étudiants québécois, et de moins en moins bien à celle des étudiants français.

Le livre Cours d'algèbre - Groupes, anneaux, modules et corps constitue un outil précieux pour tout étudiant francophone en mathématiques en raison de l'étendue de la matière qu'il couvre, de la quantité et du niveau des exercices qu'il propose, et enfin, du fait que toutes les démonstrations y sont présentées en détail.

C'est aussi un manuel de référence complet tant pour les étudiants universitaires que pour les autodidactes qui, dans le cadre d'un cours ou pour le simple plaisir, veulent se plonger dans l'univers fascinant de l'algèbre.

ORIGINALITÉ
Cours d'algèbre - Groupes, anneaux, modules et corps présente de façon moderne et vivante un cours complet d'algèbre, dont l'esprit se situe à mi-chemin entre l'approche française classique et l'approche québécoise. Tous les concepts y sont définis formellement, chaque résultat est démontré en détail et les liens entre les sujets sont fréquemment soulignés. Il contient, en outre, de nombreuses notices historiques. Enfin, il propose un très grand nombre d'exercices de tous les niveaux de difficulté, dont certains sont résolus.

TRAITEMENT DU SUJET
Après un rappel des notions préliminaires (ensembles, relations, applications, récurrence, arithmétique, nombres complexes), la première partie, qui porte sur les groupes, culmine avec les théorèmes d'isomorphisme.

La deuxième partie, portant sur les anneaux, traite d'abord de généralités, puis des théorèmes d'isomorphisme; les anneaux de polynômes, quant à eux, occupent un chapitre complet, incluant les polynômes symétriques; viennent enfin les anneaux principaux.

La troisième partie concerne les modules, et notamment la caractérisation des modules de type fini sur un anneau principal, les applications aux groupes abéliens et le calcul des formes canoniques d'une matrice.

Après l'étude des groupes résolubles, la dernière partie traite des corps finis, de la théorie de Galois et de la résolubilité d'une équation par radicaux.

AUTEUR
Ibrahim Assem est algébriste et professeur au Département de mathématiques de l'Université de Sherbrooke depuis 1988. Il y enseigne principalement l'algèbre et la géométrie. Il a fondé le Groupe de recherche en théorie des représentations des algèbres, qu'il dirige depuis 20 ans. En plus d'avoir déjà publié deux livres, il a près d'une centaine d'articles de recherche à son actif.

Pierre Yves Leduc est algébriste et professeur au même département depuis 1969. Il a exercé la fonction de doyen de la Faculté des sciences de 1989 à 1997. Ses domaines de prédilection sont, bien sûr, l'algèbre, l'algèbre appliquée, la théorie des nombres, la géométrie algébrique et la topologie algébrique, mais aussi l'analyse.
Ibrahim Assem est algébriste et professeur au Département de mathématiques de l'Université de Sherbrooke depuis 1988. Il y enseigne principalement l'algèbre et la géométrie. Il a fondé le Groupe de recherche en théorie des représentations des algèbres, qu'il dirige depuis 20 ans. En plus d'avoir déjà publié deux livres, il a près d'une centaine d'articles de recherche à son actif.

Pierre Yves Leduc est algébriste et professeur au même département depuis 1969. Il a exercé la fonction de doyen de la Faculté des sciences de 1989 à 1997. Ses domaines de prédilection sont, bien sûr, l'algèbre, l'algèbre appliquée, la théorie des nombres, la géométrie algébrique et la topologie algébrique, mais aussi l'analyse.
Table des matières

Chapitre 1 Préliminaires
Formalisme. Ensembles. Sous-ensembles. Intersections, unions, différences. Familles d'ensembles. Produits cartésiens.

Chapitre 2 Applications et équivalences
Concept d'application. Propriétés des applications. Relations d'équivalence.

Chapitre 3 Récurrence
Premier principe de récurrence. Définitions récursives. Binôme de Newton. Second principe de récurrence.

Chapitre 4 Arithmétique
Théorèmes fondamentaux. Autres faits remarquables. Congruences.

Chapitre 5 Nombres complexes
Corps des nombres complexes. Plan complexe. Racines nièmes.

Chapitre 6 Concept de groupe
Opérations, monoïdes, groupes. Groupe des entiers modulo m. Groupe des isométries du triangle. Groupe de Klein. Groupe des entiers non nuls modulo p. Cercle unité. Produits cartésiens de deux groupes. Groupe des racines nièmes de l'unité. Groupes linéaires. Propriétés élémentaires des groupes. Groupes symétriques. Isomorphismes de groupes.

Chapitre 7 Sous-groupes et groupes monogènes
Sous-groupes. Groupes monogènes, groupes cycliques. Générateurs d'un groupe cyclique. Théorème de Lagrange.

Chapitre 8 Homomorphismes et groupes quotients
Homomorphismes. Théorème de Cayley. Sous-groupes normaux. Groupes alternés. Groupes quotients.

Chapitre 9 Théorèmes d'isomorphisme
Isomorphisme de base. Sous-groupes et quotients de G/N.

Chapitre 10 Anneaux
Définition et propriétés élémentaires. Sous-anneaux. Anneaux intègres et corps. Caractéristique.

Chapitre 11 Idéaux et anneaux quotients
Idéaux. Construction d'idéaux. Anneaux quotients.

Chapitre 12 Homomorphismes et isomorphismes d'anneaux
Homomorphismes d'anneaux. Isomorphismes d'anneaux. Théorèmes d'isomorphisme. Idéaux maximaux et premiers. Corps des fractions d'un anneau intègre.

Chapitre 13 Polynômes
Polynômes sur un anneau commutatif. Homomorphismes d'anneaux de polynômes. Division polynomiale sur un anneau intègre. Factorisation des polynômes sur un corps. Polynômes sur Q, R et C. Polynômes en deux indéterminées. Polynômes en n indéterminées. Polynômes symétriques. Généralisation.

Chapitre 14 Anneaux principaux
Divisibilité dans un anneau intègre. Anneaux euclidiens. Anneaux principaux. Factorisation unique. Applications arithmétiques.

Chapitre 15 Modules et sous-modules
Modules. Sous-modules. Construction de sous-modules. Modules de torsion.

Chapitre 16 Applications linéaires
Applications linéaires. Théorèmes d'isomorphisme. Suites exactes. Sommes et produits directs. Modules libres. Modules libres de type fini sur un anneau principal.

Chapitre 17 Modules de type fini sur un anneau principal
Forme normale de Smith d'une matrice. Théorème fondamental. Décomposition primaire d'un module. Applications.

Chapitre 18 Formes canoniques de matrices
Espaces vectoriels munis d'une application linéaire. Forme canonique d'un endomorphisme cyclique. Formes canoniques d'un endomorphisme quelconque. Calcul des formes canoniques et des bases correspondantes.

Chapitre 19 Groupes simples et groupes résolubles
Groupes simples. Groupes résolubles. Sous-groupes remarquables. Suites de composition.

Chapitre 20 Corps
Extensions. Corps de rupture. C : corps algébriquement clos. Existence de clôtures algébriques. Corps finis. Classification. Structure du groupe multiplicatif.

Chapitre 21 Théorie de Galois
Équation générale de degré 3. Extensions galoisiennes. Correspondance galoisienne. Invariants d'un groupe d'automorphismes. Construction de K-automorphismes. Théorème fondamental. Résolubilité par radicaux. Équations non résolubles par radicaux