***Analyse numérique pour ingénieurs; 4e édition***
ISBN9782553016240
EditeurPresses internationales Polytechnique
pages490
Parution2011-12-13
AuteurAndré Fortin
Argumentaire
Depuis plusieurs années, l'analyse numérique connaît un essor considérable et la plupart des facultés de sciences et de génie offrent au moins un cours d'introduction à cette discipline. La maîtrise de cet outil extrêmement performant est devenue indispensable dans la formation scientifique en général, et en particulier dans celle des ingénieurs, puisqu'elle permet d'aborder et de résoudre des problèmes dont la solution est inimaginable par les méthodes analytiques classiques. Ce livre couvre notamment l'analyse d'erreurs, les racines d'équations algébriques, les systèmes d'équations linéaires et non linéaires, les techniques d'interpolation, la différentiation et l'intégration numériques ainsi que les systèmes d'équations différentielles ordinaires. L'auteur met l'accent sur la compréhension profonde des méthodes proposées plutôt que sur la programmation, en présentant chaque thème à l'aide d'exemples, de figures, de tableaux et d'applications.Ce livre s'adresse aux étudiants en sciences et en génie ainsi qu'aux ingénieurs et aux scientifiques qui désirent acquérir des connaissances et des habiletés de base dans le domaine de l'analyse numérique.
André Fortin est professeur au Département de mathématiques et de statistique de l'Université Laval à Québec. Il a enseigné au Département de mathématiques et de génie industriel de l'École Polytechnique de Montréal de 1984 à 2000. Il est également directeur du Groupe interdisciplinaire de recherche en éléments finis (GIREF) qui réunit des chercheurs provenant principalement de l'Université Laval et de l'École Polytechnique. Ce centre s'intéresse aux aspects théoriques et pratiques de la modélisation numérique et de ses applications industrielles.
Chapitre 1 Analyse d'erreurs
1.1 Introduction
1.2 Erreurs de modélisation
1.3 Représentation des nombres sur ordinateur
1.3.1 Représentation des entiers signés
1.3.2 Représentation des nombres réels
1.3.3 Erreurs dues à la représentation
1.4 Norme IEEE-754
1.4.1 Exceptions
1.4.2 Nombres non normalisés
1.5 Arithmétique flottante
1.5.1 Opérations élémentaires
1.5.2 Opérations risquées
1.5.3 Évaluation des polynômes
1.6 Erreurs de troncature
1.6.1 Développement de Taylor en une variable
1.6.2 Développement de Taylor en plusieurs variables
1.6.3 Propagation d'erreurs dans le cas général
1.7 Évaluation de la fonction ex
1.8 Exercices
Chapitre 2 Équations non linéaires
2.1 Introduction
2.2 Méthode de la bissection
2.3 Méthodes des points fixes
2.3.1 Convergence de la méthode des points fixes
2.3.2 Interprétation géométrique
2.3.3 Extrapolation d'Aitken
2.4 Méthode de Newton
2.4.1 Interprétation géométrique
2.4.2 Analyse de convergence
2.4.3 Cas des racines multiples
2.5 Méthode de la sécante
2.6 Applications
2.6.1 Modes de vibration d'une poutre
2.6.2 Premier modèle de viscosité
2.7 Exercices
Chapitre 3 Systèmes d'équations algébriques
3.1 Introduction
3.2 Systèmes linéaires
3.3 Opérations élémentaires sur les lignes
3.3.1 Multiplication d'une ligne par un scalaire
3.3.2 Permutation de deux lignes
3.3.3 Opération (?li ??li + ??lj)
3.4 Élimination de Gauss
3.5 Décomposition LU
3.5.1 Principe de la méthode
3.5.2 Décomposition de Crout
3.5.3 Décomposition LU et permutation de lignes
3.5.4 Factorisation de Choleski
3.5.5 Les systèmes tridiagonaux
3.6 Calcul de la matrice inverse A?1
3.7 Effets de l'arithmétique flottante
3.8 Conditionnement d'une matrice
3.9 Systèmes non linéaires
3.10 Applications
3.10.1 Calcul des tensions dans une ferme
3.10.2 Deuxième modèle de viscosité
3.10.3 Réseau de distribution d'eau
3.11 Exercices
Chapitre 4 Méthodes itératives et systèmes dynamiques discrets
4.1 Introduction
4.2 Application quadratique
4.3 Méthodes des points fixes : cas complexe
4.4 Rappels sur les valeurs et vecteurs propres
4.4.1 Méthode des puissances
4.4.2 Méthode des puissances inverses
4.5 Méthodes des points fixes en dimension n
4.6 Méthodes itératives pour les systèmes linéaires
4.6.1 Méthode de Jacobi
4.6.2 Méthode de Gauss-Seidel
4.7 Exercices
5 Interpolation
5.1 Introduction
5.2 Matrice de Vandermonde
5.3 Interpolation de Lagrange
5.4 Polynôme de Newton
5.5 Erreur d'interpolation
5.6 Splines cubiques
5.6.1 Courbes de la forme y = f(x)
5.6.2 Splines paramétrées
5.7 Krigeage
5.7.1 Effet pépite
5.7.2 Courbes paramétrées
5.7.3 Cas multidimensionnel
5.8 Transformée de Fourier discrète
5.9 Introduction aux NURBS
5.9.1 B-splines
5.9.2 Génération de courbes
5.9.3 B-splines rationnelles non uniformes
5.9.4 Construction des coniques
5.9.5 Construction des surfaces
5.10 Exercices
Chapitre 6 Différentiation et intégration numériques
6.1 Introduction
6.2 Différentiation numérique
6.2.1 Dérivées d'ordre 1
6.2.2 Dérivées d'ordre supérieur
6.3 Extrapolation de Richardson
6.4 Intégration numérique
6.4.1 Formules de Newton-Cotes simples et composées
6.4.2 Méthode de Romberg
6.4.3 Quadratures de Gauss-Legendre
6.4.4 Intégration à l'aide des splines
6.5 Applications
6.5.1 Courbe des puissances classées
6.5.2 Puissance électrique d'un ordinateur
6.6 Exercices
Chapitre 7 Équations différentielles
7.1 Introduction
7.2 Méthode d'Euler explicite
7.3 Méthodes de Taylor
7.4 Méthodes de Runge-Kutta
7.4.1 Méthodes de Runge-Kutta d'ordre 2
7.4.2 Méthode de Runge-Kutta d'ordre 4
7.4.3 Contrôle de l'erreur
7.5 Méthodes à pas multiples
7.6 Systèmes d'équations différentielles
7.7 Équations d'ordre supérieur
7.8 Stabilité absolue
7.8.1 Quelques mots sur les méthodes implicites
7.9 Méthodes de tir
7.9.1 Équations linéaires
7.9.2 Équations non linéaires
7.10 Méthodes des différences finies
7.11 Applications
7.11.1 Problème du pendule
7.11.2 Systèmes de masses et de ressorts
7.11.3 Attracteur étrange de Lorenz
7.11.4 Défi du golfeur
7.12 Exercices
Réponses aux exercices du chapitre 1
Réponses aux exercices du chapitre 2
Réponses aux exercices du chapitre 3
Réponses aux exercices du chapitre 4
Réponses aux exercices du chapitre 5
Réponses aux exercices du chapitre 6
Réponses aux exercices du chapitre 7
1.1 Introduction
1.2 Erreurs de modélisation
1.3 Représentation des nombres sur ordinateur
1.3.1 Représentation des entiers signés
1.3.2 Représentation des nombres réels
1.3.3 Erreurs dues à la représentation
1.4 Norme IEEE-754
1.4.1 Exceptions
1.4.2 Nombres non normalisés
1.5 Arithmétique flottante
1.5.1 Opérations élémentaires
1.5.2 Opérations risquées
1.5.3 Évaluation des polynômes
1.6 Erreurs de troncature
1.6.1 Développement de Taylor en une variable
1.6.2 Développement de Taylor en plusieurs variables
1.6.3 Propagation d'erreurs dans le cas général
1.7 Évaluation de la fonction ex
1.8 Exercices
Chapitre 2 Équations non linéaires
2.1 Introduction
2.2 Méthode de la bissection
2.3 Méthodes des points fixes
2.3.1 Convergence de la méthode des points fixes
2.3.2 Interprétation géométrique
2.3.3 Extrapolation d'Aitken
2.4 Méthode de Newton
2.4.1 Interprétation géométrique
2.4.2 Analyse de convergence
2.4.3 Cas des racines multiples
2.5 Méthode de la sécante
2.6 Applications
2.6.1 Modes de vibration d'une poutre
2.6.2 Premier modèle de viscosité
2.7 Exercices
Chapitre 3 Systèmes d'équations algébriques
3.1 Introduction
3.2 Systèmes linéaires
3.3 Opérations élémentaires sur les lignes
3.3.1 Multiplication d'une ligne par un scalaire
3.3.2 Permutation de deux lignes
3.3.3 Opération (?li ??li + ??lj)
3.4 Élimination de Gauss
3.5 Décomposition LU
3.5.1 Principe de la méthode
3.5.2 Décomposition de Crout
3.5.3 Décomposition LU et permutation de lignes
3.5.4 Factorisation de Choleski
3.5.5 Les systèmes tridiagonaux
3.6 Calcul de la matrice inverse A?1
3.7 Effets de l'arithmétique flottante
3.8 Conditionnement d'une matrice
3.9 Systèmes non linéaires
3.10 Applications
3.10.1 Calcul des tensions dans une ferme
3.10.2 Deuxième modèle de viscosité
3.10.3 Réseau de distribution d'eau
3.11 Exercices
Chapitre 4 Méthodes itératives et systèmes dynamiques discrets
4.1 Introduction
4.2 Application quadratique
4.3 Méthodes des points fixes : cas complexe
4.4 Rappels sur les valeurs et vecteurs propres
4.4.1 Méthode des puissances
4.4.2 Méthode des puissances inverses
4.5 Méthodes des points fixes en dimension n
4.6 Méthodes itératives pour les systèmes linéaires
4.6.1 Méthode de Jacobi
4.6.2 Méthode de Gauss-Seidel
4.7 Exercices
5 Interpolation
5.1 Introduction
5.2 Matrice de Vandermonde
5.3 Interpolation de Lagrange
5.4 Polynôme de Newton
5.5 Erreur d'interpolation
5.6 Splines cubiques
5.6.1 Courbes de la forme y = f(x)
5.6.2 Splines paramétrées
5.7 Krigeage
5.7.1 Effet pépite
5.7.2 Courbes paramétrées
5.7.3 Cas multidimensionnel
5.8 Transformée de Fourier discrète
5.9 Introduction aux NURBS
5.9.1 B-splines
5.9.2 Génération de courbes
5.9.3 B-splines rationnelles non uniformes
5.9.4 Construction des coniques
5.9.5 Construction des surfaces
5.10 Exercices
Chapitre 6 Différentiation et intégration numériques
6.1 Introduction
6.2 Différentiation numérique
6.2.1 Dérivées d'ordre 1
6.2.2 Dérivées d'ordre supérieur
6.3 Extrapolation de Richardson
6.4 Intégration numérique
6.4.1 Formules de Newton-Cotes simples et composées
6.4.2 Méthode de Romberg
6.4.3 Quadratures de Gauss-Legendre
6.4.4 Intégration à l'aide des splines
6.5 Applications
6.5.1 Courbe des puissances classées
6.5.2 Puissance électrique d'un ordinateur
6.6 Exercices
Chapitre 7 Équations différentielles
7.1 Introduction
7.2 Méthode d'Euler explicite
7.3 Méthodes de Taylor
7.4 Méthodes de Runge-Kutta
7.4.1 Méthodes de Runge-Kutta d'ordre 2
7.4.2 Méthode de Runge-Kutta d'ordre 4
7.4.3 Contrôle de l'erreur
7.5 Méthodes à pas multiples
7.6 Systèmes d'équations différentielles
7.7 Équations d'ordre supérieur
7.8 Stabilité absolue
7.8.1 Quelques mots sur les méthodes implicites
7.9 Méthodes de tir
7.9.1 Équations linéaires
7.9.2 Équations non linéaires
7.10 Méthodes des différences finies
7.11 Applications
7.11.1 Problème du pendule
7.11.2 Systèmes de masses et de ressorts
7.11.3 Attracteur étrange de Lorenz
7.11.4 Défi du golfeur
7.12 Exercices
Réponses aux exercices du chapitre 1
Réponses aux exercices du chapitre 2
Réponses aux exercices du chapitre 3
Réponses aux exercices du chapitre 4
Réponses aux exercices du chapitre 5
Réponses aux exercices du chapitre 6
Réponses aux exercices du chapitre 7
