Calcul différentiel et intégral

ISBN9782730207249 EditorÉditions de l'École Polytechnique, Paris pages215 Published2000-04-01
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Le texte commence par un chapitre sur les équations différentielles (non linéaire) où l'existence et l'unicité des solutions maximales sont établies et où leur durée de vie est discutée. Dans le cas d'une équation différentielle indépendante du temps, l'ensemble de toutes les solutions s'organise en un flot dont les propriétés sont remarquables. Puis vient le calcul différentiel proprement dit avec le théorème des fonctions implicites et ses premières applications géomètriques (sous-variétés).
AUTEUR
François Laudenbach est professeur des universités. Il a enseigné successivement à l'Université Paris-Sud, à l'École normale de Lyon et à l'École polytechnique. Il est actuellement à l'Université de Nantes.
Introduction
Ouvrages de référence

I. Équations différentielles I : point de vue élémentaire
Position du problème. Préliminaire topologique. Équations différentielles linéaires. Équations différentielles non linéaires. Équations différentielles définies par un champ de vecteurs. Exercices corrigés

II. Applications différentiables
Applications de classe C1. Applications de classe C+. Exemples de dérivabilité en dimension infinie. Le théorème d'inversion locale. Le théorème des fonctions implicites. Exercice corrigé

III. Sous-variétés
Sous-variétés et fonctions implicites. Espace tangent et transversalité. Applications différentiables sur une sous-variété. Fonctions différentiables et sous-variétés

IV. Équations différentielles II : différentiabilité
Différentiabilité du flot. Changement de coordonnées dans une équation différentielle. Linéarisation. Variation par rapport à un paramètre. Stabilité. Champ de gradient (exercice corrigé)

V. Mesures
Algèbres et algèbre de parties d'un ensemble. Mesure positive. Le théorème de prolongement. Application à la mesure de Lebesgue et à d'autres mesures. Ensembles de mesure nulle

VI. Intégration
Applications mesurables. Intégrale des fonctions positives. Intégrabilité. Espaces de fonctions intégrables. Fonctions définies par des intégrales. Autres théorèmes

VII. Intégrales multiples
Mesure produit. Intégration des fonctions positives. Le théorème de Fubini. Formule de changement de variable pour les intégrales. Intégrales de surface. La formule de Stokes. Le théorème de récurrence de Poincaré

Appendice topologique
Espaces métriques. Espaces topologiques. Espaces complets. Connexité par arcs. Compacité. Ensembles de Cantor

Index